Портфельная теория Марковица

Идея диверсификации инвестиционного портфеля была предложена в середине прошлого века. Гарри Марковиц предполагал, что не нужно рассматривать изменение цены каждой акции в отдельности. Нужно оценивать, как влияет изменение цены акции на доходность и риск всего портфеля. Эта идея, выраженная с помощью математических инструментов и легла в основу «Портфельной теории Марковица».

Как работает диверсификация портфеля по Марковицу

Портфельная теория Марковица – это способ думать об инвестициях, который помогает не просто выбирать отдельные акции или облигации, а собирать их в «комплексный» портфель таким образом, чтобы общий риск снизился, а доходность оставалась на приемлемом уровне. Идея проста: если разные активы ведут себя по-разному (то есть их цены не всегда падают или растут одновременно), то их совместное владение может «сгладить» колебания.

Суть модели простыми словами:

Диверсификация – «не клади все яйца в одну корзину». Вместо того чтобы инвестировать весь капитал в одну акцию (которая может сильно упасть в цене), разумно распределить средства между несколькими активами. Если одна акция идет не очень, другая может компенсировать ее падение.
Соотношение риска и доходности. Каждый актив имеет свою ожидаемую доходность и степень волатильности (риск). Но важно не только смотреть на эти показатели по отдельности, а учитывать, как активы взаимодействуют между собой. Например, даже если одна акция рисковая, если ее движение почти не связано с движением другой менее рискованной акции, вместе они могут дать более стабильный результат.
Эффективная граница. Представьте себе график, где по горизонтали откладывается риск, а по вертикали – доходность. Все возможные комбинации активов формируют облако точек, но есть линия (так называемая эффективная граница), вдоль которой портфели имеют наилучшее соотношение доходности и риска. Если вы на этой линии, то не сможете увеличить доходность без увеличения риска и наоборот.

4. Практический подход. Модель Марковица помогает определить, какую часть капитала стоит инвестировать в каждый актив. Это делается с помощью оптимизации – поиска такого сочетания, которое для заданной ожидаемой доходности даст минимальный риск.

Суть и основные принципы модели с точки зрения математики:

Диверсификация. Основная идея заключается в том, что комбинирование активов с различными характеристиками (доходностью, волатильностью, взаимной корреляцией) позволяет снизить общий риск портфеля. То есть, даже если отдельный актив волатилен, его негативное движение может быть частично компенсировано стабильностью другого.
Оценка риска через дисперсию. Риск в модели Марковица измеряется через дисперсию или стандартное отклонение доходностей активов. Инвестор стремится выбрать такой набор активов, чтобы при заданном уровне доходности суммарный риск (вариация портфеля) был минимальным.
Эффективная граница. Все возможные комбинации активов можно представить в виде графика «доходность–риск». Линия, вдоль которой расположены портфели с максимальной доходностью при фиксированном риске (и наоборот), называется эффективной границей. Инвестор выбирает портфель именно из этого множества, так как никакой другой набор активов не сможет улучшить соотношение риск/доходность.
Учет корреляции активов. Важным моментом является оценка взаимосвязи между активами через их ковариации (или корреляции). Низкая или отрицательная корреляция способствует снижению совокупного риска портфеля.

Эти принципы легли в основу современной теории портфеля и до сих пор используются для построения оптимальных инвестиционных стратегий

Общий математический алгоритм построения модели:

Сбор и подготовка данных:

Исторические доходности: соберите данные по доходностям интересующих вас активов (например, ежедневные, недельные или месячные изменения цен). Это можно сделать с помощью финансовых сервисов или специализированных платформ.

Для каждого актива вычислите:

Ожидаемую доходность: среднее значение прошлых доходностей.
Риск актива: стандартное отклонение доходностей (это показывает, насколько сильно цена актива колеблется).

2. Вычисление ковариационной матрицы:

Ковариация между активами. Определите, как изменения доходности одного актива связаны с изменениями другого. Например, если когда одна акция падает, другая растет – это отрицательная корреляция, что полезно для диверсификации.
Формирование матрицы. Создайте таблицу (матрицу), в которой по диагонали записаны дисперсии (квадраты стандартных отклонений) каждого актива. В остальных ячейках – ковариации между парами активов.

Эта матрица помогает понять, как активы «двигаются» друг относительно друга.

3. Постановка задачи оптимизации:

Целевая функция – общий риск портфеля. Рассчитывается как сумма долей каждого актива с учетом их взаимного влияния (с использованием ковариаций).
Ожидаемая доходность портфеля. Вычисляется как сумма произведений доли инвестиций в каждый актив и его ожидаемой доходности.

Задача сводится к поиску таких долей инвестиций, при которых риск портфеля минимален (или доходность максимальна) при условии, что ожидаемая доходность достигает заданного уровня.

4. Решение задачи оптимизации:

Аналитический подход. При помощи метода Лагранжа можно «на бумаге» вывести формулы, связывающие оптимальные доли активов с входными параметрами (ожидаемыми доходностями, рисками и ковариациями). Однако для простоты многие используют численные методы.
Численные методы. Использование аналитического ПО или Excel. Введите функцию, которая вычисляет общий риск портфеля (на основе заданной матрицы ковариаций и долей активов), и установите ограничения (сумма долей = 1, заданная доходность портфеля и неотрицательность долей). Программа автоматически подберет оптимальное распределение.

5. Анализ результатов:

Эффективная граница. Пропустив через оптимизацию разные целевые уровни доходности, можно построить график «риск–доходность». Точки на этой линии – это оптимальные портфели, при которых нельзя увеличить доходность без повышения риска.
Выбор портфеля. Исходя из вашего отношения к риску и финансовых целей, выбираете один из оптимальных портфелей с нужным балансом.

Как трейдеры могут использовать теорию Марковица:

Оптимизация распределения средств. Применяя методы Марковица, трейдеры могут определить, какая доля капитала должна быть инвестирована в каждый актив, чтобы достичь желаемого баланса между доходностью и риском.
Снижение рисков. Благодаря диверсификации портфеля можно уменьшить влияние неблагоприятных движений отдельных активов.
Построение эффективной границы. Анализируя различные комбинации активов, трейдеры могут выбрать портфель, который соответствует их индивидуальным предпочтениям в отношении риска и доходности.
Ребалансировка. Теория помогает определить моменты для пересмотра и корректировки портфеля с целью поддержания оптимального соотношения риск/доходность при изменении рыночных условий.

Пример. Представим, что у вас есть два актива:

Акция А: ожидаемая доходность около 10% годовых, риск (волатильность) – 15%.
Акция B: ожидаемая доходность около 6% годовых, риск – 8%.

Если инвестировать только в акцию А, вы получите 10% доходности, но и получите риск убытка 15%. Если вложить весь капитал в акцию B, доходность составит 6% с меньшей волатильностью в 8%. Однако если вы разделите капитал поровну (50% в А и 50% в B), ожидаемая доходность станет примерно средней (около 8%), а общий риск портфеля окажется ниже, чем 50% от 15% плюс 50% от 8%. Почему так происходит?

Это происходит благодаря эффекту диверсификации. Акции А и B, скорее всего, не будут двигаться точно одинаково – если цена акций А падает, цена акций B может оставаться стабильной или даже расти. Таким образом, колебания портфеля компенсируются друг другом, что снижает общий риск.

Чтобы определить оптимальное распределение, модель Марковица использует статистический анализ исторических данных (средние доходности, степень волатильности, корреляция между активами). Полученные результаты позволяют подобрать такие доли, при которых при заданной целевой доходности риск будет минимальным.

В нашем примере, если вы хотите получить примерно 8% доходности, можно попробовать распределить капитал поровну. Реальные расчеты показывают, что такой портфель может иметь, скажем, риск около 9–10% вместо простой средней величины, что делает его более устойчивым к рыночным колебаниям.

Вывод. Портфельная теория Марковица помогает:

Выбирать не отдельные активы, а их комбинацию для снижения риска.
Определять оптимальное соотношение инвестиций, чтобы достичь желаемого баланса между доходностью и волатильностью.
Строить «эффективную границу» – набор портфелей, где нельзя увеличить доходность без увеличения риска.

Эта теория, даже при минимуме математических выкладок, учит инвестора смотреть на весь портфель в целом и принимать более взвешенные решения. Подход Марковица стал базой для многих современных инвестиционных стратегий, позволяющих как профессионалам, так и начинающим трейдерам создавать более стабильные и диверсифицированные портфели.